Đồ án: Phương pháp quy hoạch động cho tính khoảng cách

Đồ án: Phương pháp quy hoạch động cho tính khoảng cách. Bạn đang chuẩn bị làm bài báo cáo thực tập nghề nghiệp, hay bạn đang làm đồ án tốt nghiệp, nhưng các bạn lại chưa biết lựa chọn đề tài nào cho phù hợp với trường hợp của bạn, giờ đây các bạn không còn phải lo lắng về vấn đề đó nữa, vì dưới đây Dịch Vụ Hỗ Trợ Viết Luận Văn sẽ chia sẻ đến các bạn sinh viên một bài Đồ án: Phương pháp quy hoạch động cho tính khoảng cách các bạn có thể tham khảo thử nhé.

1.1. Giới thiệu chung

Quy hoạch động (Dynamic Programming) là một phương pháp rất hiệu quả giải nhiều bài toán tin học, đặc biệt là những bài toán tối ưu. Những bài toán này thường có nhiều nghiệm chấp nhận được và mỗi nghiệm có một giá trị đánh giá. Mục tiêu đặt ra là tìm nghiệm tối ưu, đó là nghiệm có giá trị đánh giá lớn nhất hoặc nhỏ nhất (tối ưu). Ví dụ tìm đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh của đồ thị, tìm chuỗi con chung dài nhất của hai chuỗi, tìm chuỗi con tăng dài nhất,… Số lượng bài toán được giải bằng lập trình động cũng rất lớn. Ví dụ riêng kì thi Olympic quốc tế về Tin học 2004 có tới ba bài trong sáu bài có thể giải bằng quy hoạch động.

Quy hoạch động giải các bài toán bằng cách kết hợp các lời giải của các bài toán con của bài toán đang xét. Phương pháp này khả dụng khi các bài toán con không độc lập đối với nhau, tức là khi các bài toán con có dùng chung những bài toán “cháu”. Quy hoạch động giải các bài toán “cháu” dùng chung này một lần và lưu lời giải của chúng trong một bảng và sau đó khỏi phải tính lại khi gặp lại bài toán cháu đó. Quy hoạch động được áp dụng cho những bài toán tối ưu hóa (optimization problem). Bốn bước của qui hoạch động : Đặc trưng hóa cấu trúc của lời giải tối ưu. + Định nghĩa giá trị của lời giải tối ưu một cách đệ quy. + Tính trị của lời giải tối ưu theo kiểu từ dưới lên. + Cấu tạo lời giải tối ưu từ những thông tin đã được tính toán. Các thành phần của quy hoạch động : + Tiểu cấu trúc tối ưu – Một bài toán có tính chất tiểu cấu trúc tối ưu nếu lời giải tối ưu chứa trong nó những lời giải tối ưu của những bài toán con. + Những bài toán con trùng lắp – Khi một giải thuật đệ quy gặp lại cùng một bài toán con nhiều lần, ta bảo rằng bài toán tối ưu hóa có những bài toán con trùng lặp.

Chuỗi con chung dài nhất LCS : O(m+n) “Đồ án: Phương pháp quy hoạch động cho tính khoảng cách”

Bài toán cái túi (Knapsack) : Bài toán cái túi có thể dễ dàng giải được nếu M không lớn, nhưng khi M lớn thì thời gian chạy trở nên không thể chấp nhận được. Phương pháp này không thể làm việc được khi M và trọng lượng/kích thước là những số thực thay vì số nguyên. Giải thuật qui hoạch động để giải bài toán cái túi có thời gian chạy tỉ lệ với NM.

Giải thuật Warshall [O(V³)- Giải thuật Floyd [O(V³)] : thể hiện sự áp dụng chiến lược quy hoạch động vì sự tính toán căn cứ vào một hệ thức truy hồi nhưng lại không xây dựng thành giải thuật đệ quy. Thay vào đó là một giải thuật lặp với sự hỗ trợ của một ma trận để lưu trữ các kết quả trung gian.

Giải thuật tham lam

Các giải thuật tối ưu hóa thường đi qua một số bước với một tập các khả năng lựa chọn tại mỗi bước. Một giải thuật tham lam thường chọn một khả năng mà xem như tốt nhất tại lúc đó. Tức là, giải thuật chọn một khả năng tối ưu cục bộ với hy vọng sẽ dẫn đến một lời giải tối ưu toàn cục. VD : +Bài toán xếp lịch cho các hoạt động + Bài toán cái túi dạng phân số + Bài toán mã Huffman+ Giải thuật Prim để tính cây bao trùm tối thiểu.

Hai thành phần chính của giải thuật tham lam :

Tính chất lựa chọn tham lam : Lựa chọn được thực hiện bởi giải thuật tham lam tùy thuộc vào những lựa chọn đã làm cho đến bây giờ, nhưng nó không tùy thuộc vào bất kỳ lựa chọn trong tương lai hay những lời giải của những bài toán con.

Như vậy, một giải thuật tham lam tiến hành theo kiểu từ trên xuống, thực hiện mỗi lúc một lựa chọn tham lam.

Tiểu cấu trúc tối ưu: Một bài tóan có tính chất tiểu cấu trúc tối ưu nếu một lời giải tối ưu chứa trong nó những lời giải tối ưu cho những bài toán con. “Đồ án: Phương pháp quy hoạch động cho tính khoảng cách”

Dùng giải thuật tham lam cho bài toán cái túi dạng phân số và qui hoạch động cho bài toán cái túi dạng 0-1.

Giải thuật tham lam cho bài toán xếp lịch các hoạt động:

Hoạt động được chọn bởi thủ tục GREEDY-ACTIVITY-SELECTER thường là hoạt động với thời điểm kết thúc sớm nhất mà có thể được xếp lịch một cách hợp lệ. Hoạt động được chọn theo cách “tham lam” theo nghĩa nó sẽ để lại cơ hội để xếp lịch cho được nhiều hoạt độngkhác. Giải thuật tham lam không nhất thiết đem lại lời giải tối ưu. Tuy nhiên thủ tục GREEDY-ACTIVITY-SELECTOR thường tìm được một lời giải tối ưu cho một thể hiện của bài toán xếp lịch các hoạt động.

Bài toán cái túi dạng phân số (knapsack) : O(n) + Giải thuật HUFFMAN (dùng phổ biến và rất hữu hiệu cho việc nén dữ liệu) trên tập n ký tự sẽ là : O(nlgn) + Bài toán tô màu đồ thị : Đầu tiên ta cố tô cho được nhiều đỉnh với màu đầu tiên, và rồi dùng một màu mới tô các đỉnh chưa tô sao cho tô được càng nhiều đỉnh càng tốt. Và quá trình này được lặp lại với những màu khác cho đến khi mọi đỉnh đều được tô màu. Độ phức tạp của thủ tục SAME_COLOR: O(n). Nếu m là số màu được dùng để tô đồ thị thì thủ tục SAME_COLOR được gọi tất cả m lần.

Do đó, độ phức tạp của toàn giải thuật: m* O(n). Vì m thường là một số nhỏ=>độ phức tạp tuyến tính . Ứng dụng : xếp lịch thi học kỳ , gán tần số trong lĩnh vực vô tuyến ,điện thoại di động.

Giải thuật quay lui : “bước hướng về lời giải đầy đủ và ghi lại thông tin về bước này mà sau đó nó có thể bị tháo gỡ và xóa đi khi phát hiện rằng bước này đã không dẫn đến lời giải đầy đủ, tức là một bước đi dẫn đến “tình thế bế tắc”(dead-end). (Hành vi này được gọi là quay lui – backtracking.) VD : bài toán tám con hậu ,bài toán con mã đi tuần

Một phương pháp tổng quát để giải quyết vấn đề: thiết kế giải thuật tìm lời giải cho bài tóan không phải là bám theo một tập qui luật tính toán được xác định mà là bằng cách thử và sửa sai .Khuôn mẫu thông thường là phân rã quá trình thử và sửa sai thành những công tác bộ phận. Thường thì những công tác bộ phận này được diễn tả theo lối đệ quy một cách thuận tiện và bao gồm việc thăm dò một số hữu hạn những công tác con.Ta có thể coi toàn bộ quá trình này như là một quá trình tìm kiếm mà dần dần cấu tạo và duyệt qua một cây các công tác con. “Đồ án: Phương pháp quy hoạch động cho tính khoảng cách”

Tìm tất cả các lời giải : Một khi một lời giải được tìm thấy và ghi lại, ta tiếp tục xét ứng viên kế trong quá trình chọn ứng viên một cách có hệ thống .

Thời gian tính toán của các giải thuật quay lui thường là hàm mũ (exponential). Nếu mỗi nút trên cây không gian trạng thái có trung bình α nút con, và chiều dài của lối đi lời giải là N, thì số nút trên cây sẽ tỉ lệ với α^N .

Giải thuật nhánh và cận (branch-and-bound) tưởng nhánh và cận: Trong quá trình tìm kiếm một lối đi tốt nhất (tổng trọng số nhỏ nhất) cho bài toán TSP, có một kỹ thuật tỉa nhánh quan trọng là kết thúc sự tìm kiếm ngay khi thấy rằng nó không thể nào thành công được. Giả sử một lối đi đơn có chi phí x đã được tìm thấy. Thì thật vô ích để duyệt tiếp trên lối đi chưa đầy đủ nào mà chi phí cho đến hiện giờ đã lớn hơn x. Điều này có thể được thực hiện bằng cách không gọi đệ quy thủ tục visit nếu lối đi chưa-đầy-đủ hiện hành đã lớn hơn chi phí của lối đi đầy đủ tốt nhất cho đến bây giờ. Rõ ràng ta sẽ không bỏ sót lối đi chi phí nhỏ nhất nào nếu ta bám sát một chiến lược như vậy. Kỹ thuật tính cận (bound) của các lời giải chưa-đầy-đủ để hạn chế số lời giải phải dò tìm được gọi là giải thuật nhánh và cận .

Giải thuật này có thể áp dụng khi có chi phí được gắn vào các lối đi.

Bài toán người thương gia du hành (TSP) + Bài toán Chu trình Hamilton(HCP) : Để giải bài toán (HCP), ta có thể cải biên giải thuật tìm kiếm theo chiều sâu trước (DFS) để giải thuật này có thể sinh ra mọi lối đi đơn mà đi qua mọi đỉnh trong đồ thị.

NP-Complete

• P : Tập hợp tất cả những bài toán có thể giải được bằng những giải thuật tất định trong thời gian đa thức.
• NP: tập hợp tất cả những bài toán mà có thể được giải bằng giải thuật không tất định trong thời gian đa thức.
• VD : Bài toán có tồn tại lối đi dài nhất từ đỉnh x đến đỉnh y ; Bài toán thỏa mãn mạch logic CSP là một bài toán thuộc lớp NP “Đồ án: Phương pháp quy hoạch động cho tính khoảng cách”
• Tất định : khi giải thuật đang làm gì, cũng chỉ có một việc duy nhất có thể được thực hiện kế tiếp.
• VD : Xếp thứ tự bằng phương pháp chèn thuộc lớp P vì có độ phức tạp đa thức O(N²)

Không tất định: khi một giải thuật gặp một sự lựa chọn giữa nhiều khả năng, nó có quyền năng “tiên đóan” để biết chọn một khả năng thích đáng. VD : Cho A là một mảng số nguyên. Một giải thuật không tất định NSORT(A, n) sắp thứ tự các số theo thứ tự tăng và xuất chúng ra theo thứ tự này.

Sự phân giải một giải thuật không tất định có thể được thực hiện bằng một sự song song hóa không hạn chế .Mỗi lần có bước lựa chọn phải thực hiện, giải thuật tạo ra nhiều bản sao của chính nó .Mỗi bản sao được thực hiện cho khả năng lựa chọn.

Như vậy nhiều khả năng được thực hiện cùng một lúc  : +Bản sao đầu tiên kết thúc thành công thì làm kết thúc tất cả các quá trình tính tóan khác + Nếu một bản sao kết thúc thất bại thì chỉ bản sao ấy kết thúc mà thôi.

NP-complete : Có một danh sách những bài toán mà đã biết là thuộc về lớp NP nhưng không rõ có thể thuộc về lớp P hay không. Tức là, ta giải chúng dễ dàng trên một máy không tất định nhưng chưa ai có thể tìm thấy một giải thuật hữu hiệu chạy trên máy tính thông thường để giải bất kỳ một bài toán nào của chúng.Những bài toán NP này lại có thêm một tính chất:“Nếu bất kỳ một trong những bài toán này có thể giải được trong thời gian đa thức thì tất cả những bài toán thuộc lớp NP cũng sẽ được giải trong thời gian đa thức trên một máy tất định.” Đây là bài toán NP-complete . Để chứng minh một bài toán thuộc loại NP là NP-đầy đủ, ta chỉ cần chứng tỏ rằng một bài toán NP-đầy đủ đã biết nào đó thì khả thu giảm đa thức về bài toán mới ấy.

Một số bài toán NP-đầy đủ : – Bài toán thỏa mãn mạch logic CSP : Nếu tồn tại một giải thuật thời gian đa thức để giải bài toán thỏa mãn mạch logic thì tất cả mọi bài toán trong lớp NP có thể được giải trong thời gian đa thức – Bài toán phân hoạch số: Cho một tập những số nguyên, có thể phân hoạch chúng thành hai tập con mà có tổng trị số bằng nhau ? – Bài toán qui hoạch nguyên: Cho một bài toán qui hoạch tuyến tính, liệu có tồn tại một lời giải toàn số nguyên – Xếp lịch công việc trên đa bộ xử lý : Cho một kỳ hạn và một tập các công tác có chiều dài thời gian khác nhau phải được thực thi trên hai bộ xử lý. Vấn đề là có thể sắp xếp để thực thi tất cả những công tác đó sao cho thỏa mãn kỳ hạn không – Bài toán phủ đỉnh (VERTEX COVER): Cho một đồ thị và một số nguyên N, có thể kiếm được một tập nhỏ hơn N đỉnh mà chạm hết mọi cạnh trong đồ thị – Bài toán xếp thùng (BIN PACKING): cho n món đồ mà phải đặt vào trong các thùng có sức chứa bằng nhau L. Món đồ i đòi hỏi l_i đơn vị sức chứa của thùng. Mục đích là xác định số thùng ít nhất cần để chứa tất cả n món đồ đó.? Bài toán người thương gia du hành (TSP): cho một tập các thành phố và khoảng cách giữa mỗi cặp thành phố, tìm một lộ trình đi qua tất cả mọi thành phố sao cho tổng khoảng cách của lộ trình nhỏ hơn M+? Bài toán chu trình Hamilton (HCP): Cho một đồ thị, tìm một chu trình đơn mà đi qua tất cả mọi đỉnh. “Đồ án: Phương pháp quy hoạch động cho tính khoảng cách”

Bài toán NP-đầy đủ trong các lãnh vực : giải tích số, sắp thứ tự và tìm kiếm, xử lý dòng ký tự, Mô hình hóa hình học, xử lý đồ thị. Sự đóng góp quan trọng nhất của lý thuyết về NP-đầy đủ là: nó cung cấp một cơ chế để xác định một bài toán mới trong các lãnh vực trên là “dễ” hay “khó”.Một số kỹ thuật để đối phó với những bài toán NP-đầy đủ : + Dùng “giải thuật xấp xỉ để tìm lời giải xấp xỉ tối ưu (near-optimal) + Dựa vào hiệu năng của trường hợp trung bình để phát triển một giải thuật mà tìm ra lời giải trong một số trường hợp nào đó, mặc dù không làm việc được trong mọi trường hợp+ Sử dụng những giải thuật có độ phức tạp hàm mũ nhưng hữu hiệu, ví dụ như giải thuật quay lui+ Đưa heuristic vào giải thuật để tăng thêm hiệu quả của giải thuật+ Sử dụng metaheuristic.

Heuristic là tri thức về bài toán cụ thể được sử dụng để dẫn dắt quá trình tìm ra lời giải của giải thuật. Nhờ sự thêm vào các heuristic mà giải thuật trở nên hữu hiệu hơn.

Meta heuristic là loại heuristic tổng quát có thể áp dụng cho nhiều lớp bài tóan.Gần đây meta heuristic là một lãnh vực nghiên cứu phát triển mạnh mẽ, với sự ra đời của nhiều meta heuristic như:- giải thuật di truyền – giải thuật mô phỏng luyện kim – tìm kiếm tabu (Tabu search) …

Bốn lớp bài toán phân theo độ khó:

Những bài toán bất khả quyết : Đây là những bài toán chưa hề có giải thuật để giải. VD: Bài toán quyết định xem một chương trình có dừng trên một máy Turing

Những bài toán khó giải : đây là những bài toán mà không tồn tại giải thuật thời gian đa thức để giải chúng. Chỉ tồn tại giải thuật thời gian hàm mũ để giải chúng “Đồ án: Phương pháp quy hoạch động cho tính khoảng cách”

+Những bài toán NP-đầy đủ : Những bài toán NP-đầy đủ là một lớp con đặc biệt của lớp bài toán NP + Những bài toán P.

Cách đơn giản nhất để tìm nghiệm tối ưu của một bài toán là duyệt hết toàn bộ tập nghiệm của bài toán đó (vét cạn). Cách này chỉ áp dụng được khi tập nghiệm nhỏ, kích thước vài chục byte. Khi gặp những bài toán với tập nghiệm lớn thì phương pháp trên không đáp ứng được yêu cầu về mặt thời gian tính toán. Nếu tìm đúng hệ thức thể hiện bản chất quy hoạch động của bài toán và khéo tổ chức dữ liệu thì ta có thể xử lí được những tập dữ liệu khá lớn.

Quy hoạch động cũng như chia để trị là các phương pháp giải một bài toán bằng cách tổ hợp lời giải các bài toán con của nó.

Phương pháp quy hoạch động cùng nguyên lí tối ưu được nhà toán học Mỹ Richard Bellman (1920 – 1984) đề xuất vào những năm 50 của thế kỷ 20. Phương pháp này đã được áp dụng để giải hàng loạt bài toán thực tế trong các quá trình kỹ thuật công nghệ, tổ chức sản xuất, kế hoạch hóa kinh tế,… Tuy nhiên cần lưu ý rằng có một số bài toán mà cách giải bằng quy hoạch động tỏ ta không thích hợp.

Ưu điểm

Điểm khác nhau cơ bản giữa quy hoạch động và phương pháp phân rã là :

Phương pháp phân rã giải quyết bài toán theo hướng top-down, nghĩa là để giải bài toán ban đầu, ta phải đi giải tất cả các bài toán con của nó. Đây là một phương pháp hay, tuy nhiên phương pháp này sẽ gặp hạn chế về mặt thời gian, tốc độ do phải tính đi tính lại nhiều lần một số bài toán con giống nhau nào đó. “Đồ án: Phương pháp quy hoạch động cho tính khoảng cách”

Phương pháp quy hoạch động sử dụng nguyên lý bottom-up, nghĩa là “đi từ dưới lên”. Đầu tiên, ta sẽ phải các bài toán con đơn giản nhất, có thể tìm ngay ra nghiệm. Sau đó kết hợp các bài toán con này lại để tìm lời giải cho bài toán lớn hơn và cứ như thế cho đến khi giải được bài toán yêu cầu. Với phương pháp này, mỗi bài toán con sau khi giải xong đều được lưu trữ lại và đem ra sử dụng nếu cần. Do đó tiết kiệm bộ nhớ và cải thiện được tốc độ.

Hạn chế

Không phải lúc nào việc kết hợp các bài toán con cũng cho ta kết quả của bài toán lớn hơn. Hay nói cách khác là việc tìm kiếm “công thức truy hồi” rất khó khăn. Số lượng các bài toán con cần lưu trữ có thể rất lớn, không chấp nhận được vì dữ liệu và bộ nhớ máy tính không cho phép.

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM ĐẾN DỊCH VỤ:

===>>> Viết Thuê Đồ Án Tốt Nghiệp

1.2. Thuật toán chia để trị “Đồ án: Phương pháp quy hoạch động cho tính khoảng cách”

Đối với nhiều thuật toán đệ quy, nguyên lý chia để trị (divide and conquer) thường đóng vai trò chủ đạo trong việc thiết kế thuật toán. Để giải quyết một bài toán lớn, ta chia nó làm nhiều bài toán con cùng dạng với nó để có thể giải quyết độc lập.

Khi giải một bài toán P với kích thước ban đầu nào đó nếu gặp trở ngại vì kích thước quá lớn, người ta thường nghĩ đến việc giải các bài toán tương tự nhưng với kích thước nhỏ hơn (gọi là các bài toán con của P). Tư tưởng chia để trị thường được nhắc tới như hình ảnh “bẻ dần từng chiếc đũa để bẻ gãy cả bó đũa”.

Chia để trị thực hiện “tách” một bài toán ban đầu thành các bài toán con độc lập, các bài toán con cùng được sinh ra sau mỗi lần “tách” được gọi là cùng mức. Những bài toán con sinh ra sau hơn thì ở mức dưới (thấp hơn) và cứ tiến hành như vậy cho đến khi gặp các bài toán nhỏ đến mức dễ dàng giải được. Sau đó giải các bài toán con này và tổ hợp dần lời giải từ bài toán con nhỏ nhất đến bài toán ban đầu.

Thủ tục đệ quy luôn là cách thường dùng và hiệu quả để thực hiện thuật toán chia để trị. Quá trình đệ quy lần lượt xếp dần các bài toán con vào ngăn xếp bộ nhớ và sẽ thực hiện giải các bài toán con theo thứ tự ngược lại từ bài toán đơn giản nhất trên đỉnh ngăn xếp cho đến khi giải được bài toán ban đầu ở đáy ngăn xếp .

Ví dụ: Tìm số hạng thứ N của dãy Fibonacci. Công thức đệ quy (truy hồi) của dãy Fibonaci: F(1) = 1, F(2) = 1, F(N) = F(N-1) + F(N-2) với N > 2. “Đồ án: Phương pháp quy hoạch động cho tính khoảng cách”

Lời giải.

Xây dựng hàm F() để tính số hạng thứ N của dãy Fibonacci theo đúng định nghĩa toán học của dãy.

Function F(N:integer): longint;

Begin

If (N=1) or (N=2) then F:=1

Else F:=F(N-1)+F(N-2);

End;

Với cách này khi gọi F(N), đã sinh ra các lời gọi cùng một bài toán con tại nhiều thời điểm khác nhau. Ngăn xếp chứa các biến tương ứng với các lời gọi hàm nhanh chóng tăng nhanh dễ dẫn tới tràn ngăn xếp. Ví dụ khi gọi F(5), đã lần lượt gọi

1. F(5)
2. F(4) + F(3)
3. (F(3) + F(2)) + (F(2) + F(1))
4. ((F(2) + F(1)) + F(2)) + F(2) + F(1)

Như vậy đã ba lần gọi F(2). Khi N = 40, số lần gọi F(2) đã tăng tới 63245986 lần. Thời gian thực hiện chương trình khá lâu vì số lần gọi hàm quá lớn, gần như tăng theo hàm mũ. “Đồ án: Phương pháp quy hoạch động cho tính khoảng cách”

1.3. Nguyên lý tối ưu của Bellman

Trong thực tế, ta thường gặp một số bài toán tối ưu loại sau: Có một đại lượng f hình thành trong một quá trình gồm nhiều giai đoạn và ta chỉ quan tâm đến kết quả cuối cùng là giá trị của f phải lớn nhất hoặc nhỏ nhất, ta gọi chung là giá trị tối ưu của f. Giá trị của f phụ thuộc vào những đại lượng xuất hiện trong bài toán mà mỗi bộ giá trị của chúng được gọi là một trạng thái của hệ thống và cũng phụ thuộc vào cách thức đạt được giá trị f trong từng giai đoạn mà mỗi cách thức được gọi là một điều khiển. Đại lượng f thường được gọi là hàm mục tiêu và quá trình đạt được giá trị tối ưu của f được gọi là quá trình điều khiển tối ưu. Có thể tóm lược nguyên lí quy hoạch động do Bellman phát biểu như sau: Quy hoạch động là lớp các bài toán mà quyết định ở bước thứ i phụ thuộc vào quyết định ở các bước đã xử lí trước hoặc sau đó.

Chú ý rằng nguyên lý này được thừa nhận mà không chứng minh.

Phương pháp tìm điều khiển tối ưu theo nguyên lý Bellman thường được gọi là quy hoạch động.

1.4. Đặc điểm chung của phương pháp quy hoạch động “Đồ án: Phương pháp quy hoạch động cho tính khoảng cách”

Phương pháp quy hoạch động dùng để giải bài toán tối ưu có bản chất đệ quy, tức là việc tìm phương án tối ưu cho bài toán đó có thể đưa về tìm phương án tối ưu của một số hữu hạn các bài toán con.

Phương pháp quy hoạch động giống phương pháp chia để trị ở chỗ: lời giải bài toán được tổ hợp từ lời giải các bài toán con. Trong phương pháp quy hoạch động, nguyên lý này càng được thể hiện rõ. Khi không biết cần phải giải quyết những bài toán con nào, ta sẽ đi giải quyết các bài toán con và lưu trữ những lời giải hay đáp số của chúng với mục đích sử dụng lại theo một sự phối hợp nào đó để giải quyết những bài toán tổng quát hơn.

“Chia để trị” sẽ phân chia bài toán ban đầu thành bài toán con độc lập (hiểu theo nghĩa sự phân chia có cấu trúc dạng cây), giải các bài toán con này thường bằng đệ quy, sau đó tổ hợp lời giải của chúng để được lời giải của bài toán ban đầu. Quy hoạch động cũng phân chia bài toán thành các bài toán con, nhưng các bài toán con phụ thuộc nhau, mỗi bài toán con có thể tham chiếu tới cùng một số bài toán con mức dưới (gọi là các bài toán con gối lên nhau, sự phân chia không có cấu trúc dạng cây).

Đồ thị này không là cây nhưng là một đồ thị có hướng phi chu trình. Mỗi bài toán có những bài toán con gối lên nhau đó là hiện tượng có bài toán con đồng thời được sử dụng để giải bài toán khác với kích thước lớn hơn. Ví dụ F₃ = F₁ + F₂ và F₄

F₂ + F₃ nên việc tính mỗi số F₃ hoặc F₄ đều phải tính F₂. Mặt khác cả F₃ và F₄ đều cần cho tính F₅ do đó để tính F₅ cần phải tính F₂ ít nhất hai lần. Điều tính toán này được áp dụng ở bất cứ chỗ nào có bài toán con gối nhau xuất hiện sẽ tiêu phí thời gian để tìm lại kết quả tối ưu của những bài toán con đã được giải lúc trước. Để tránh điều này, thay cho việc giải lại các bài toán con, chúng ta lưu kết quả những bài toán con đã giải. Khi giải những bài toán sau (mức cao hơn), chúng ta có thể khôi phục lại những kết quả đã lưu và sử dụng chúng. Cách tiếp cận này được gọi là cách ghi nhớ (lưu trữ vào bộ nhớ máy tính những kết quả đã tính để phục vụ cho việc tính các kết quả tiếp theo). Ghi nhớ là một đặc trưng đẹp đẽ của quy hoạch động. Người ta cũng còn gọi cách tiếp cận này là cách lập bảng phương án lưu trữ những kết quả đã tính được để khi cần có thể sử dụng lại. Nếu ta chắc chắn rằng một lời giải nào đó không còn cần thiết nữa, ta có thể xóa nó đi để tiết kiệm không gian bộ nhớ. Trong một số trường hợp, ta còn có thể tính lời giải cho các bài toán con mà ta biết trước rằng sẽ cần đến.

Bài toán tối ưu P cần đến lập trình động khi có hai đặc điểm sau đây:

Bài toán P thỏa mãn nguyên lí tối ưu Bellman. Khi đó người ta nói bài toán P có cấu trúc con tối ưu, nghĩa là có thể sử dụng lời giải tối ưu của các bài toán con từ mức thấp để tìm dần lời giải tối ưu cho bài toán con ở các mức cao hơn, và cuối cùng là lời giải tối ưu cho bài toán toàn thể. “Đồ án: Phương pháp quy hoạch động cho tính khoảng cách”

Bài toán P có các bài toán con phủ chồng (gối) lên nhau. Nghĩa là không gian các bài toán con “hẹp” không tạo thành dạng hình cây (tree). Nếu gọi hai bài toán con cùng được sinh ra từ một bài toán là hai bài toán con cùng mức thì có thể mô tả hình ảnh các bài toán con phủ chồng lên nhau là: khi giải hai bài toán con cùng mức chúng có thể đòi hỏi cùng tham chiếu một số bài toán con thuộc mức dưới chúng.

Quy hoạch động là một phương pháp phân tích và thiết kế thuật toán cho phép giảm bớt thời gian thực hiện khi khai thác tốt hai đặc điểm nêu trên. Tuy nhiên thông thường quy hoạch động lại đòi hỏi nhiều không gian bộ nhớ hơn (để thực hiện ghi nhớ). Ngày nay, với sự mở rộng bộ nhớ máy tính và nhiều phần mềm lập trình mới cho phép sử dụng bộ nhớ rộng rãi hơn thì phương pháp quy hoạch động càng có nhiều khả năng giải các bài toán trước đây khó giải quyết do hạn chế bộ nhớ máy tính .

1.5. Ý tưởng và nội dung của thuật toán quy hoạch động

1.5.1. Các khái niệm

 Bài toán giải theo phương pháp quy hoạch động gọi là bài toán quy hoạch động

 Công thức phối hợp nghiệm của các bài toán con để có nghiệm của bài toán lớn gọi là công thức truy hồi của quy hoạch động

 Tập các bài toán nhỏ nhất có ngay lời giải để từ đó giải quyết các bài toán lớn hơn gọi là cơ sở quy hoạch động

 Không gian lưu trữ lời giải các bài toán con để tìm cách phối hợp chúng gọi là bảng phương án của quy hoạch động .

1.5.2. Ý tưởng “Đồ án: Phương pháp quy hoạch động cho tính khoảng cách”

Quy hoạch động bắt đầu từ việc giải các bài toán nhỏ nhất (bài toán cơ sở) để từ đó từng bước giải quyết những bài toán lớn hơn, cho tới khi giải được bài toán lớn nhất (bài toán ban đầu). Vậy ý tưởng cơ bản của quy hoạch động là : Tránh tính toán lại mọi thứ hai lần, mà lưu giữ kết quả đã tìm kiếm được vào một bảng làm giả thiết cho việc tìm kiếm những kết quả của trường hợp sau.

Chúng ta sẽ làm đầy dần giá trị của bảng này bởi các kết quả của những trường hợp trước đã được giải. Kết quả cuối cùng chính là kết quả của bài toán cần giải. Nói cách khác phương pháp quy hoạch động đã thể hiện sức mạnh của nguyên lý chia để trị đến cao độ [7].

Tư tưởng của thuật toán quy hoạch động khá đơn giản. Tuy nhiên khi áp dụng thuật toán vào trường hợp cụ thể lại không dễ dàng (điều này cũng tương tự như nguyên tắc Dirichlet trong toán học).

1.5.3. Nội dung

Quy hoạch động là kỹ thuật thiết kế bottom-up (từ dưới lên). Nó được bắt đầu với những trường hợp con nhỏ nhất (thường là đơn giản nhất và giải được ngay). Bằng cách tổ hợp các kết quả đã có (không phải tính lại) của các trường hợp con, sẽ đạt tới kết quả của trường hợp có kích thước lớn dần lên và tổng quát hơn, cho đến khi cuối cùng đạt tới lời giải của trường hợp tổng quát nhất.

Trong một số trường hợp, khi giải một bài toán A, trước hết ta tìm họ bài toán A(p) phụ thuộc tham số p (có thể p là một véc tơ) mà A(p₀)=A với p₀ là trạng thái ban đầu của bài toán A. Sau đó tìm cách giải họ bài toán A(p) với tham số p bằng cách áp dụng nguyên lý tối ưu của Bellman. Cuối cùng cho p = p₀ sẽ nhận được kết quả của bài toán A ban đầu [7].

1.6. Các bước thực hiện “Đồ án: Phương pháp quy hoạch động cho tính khoảng cách”

Bước 1: Lập hệ thức

Dựa vào nguyên lý tối ưu tìm cách chia quá trình giải bài toán thành từng giai đoạn, sau đó tìm hệ thức biểu diễn tương quan quyết định của bước đang xử lý với các bước đã xử lý trước đó. Hoặc tìm cách phân rã bài toán thành các “bài toán con” tương tự có kích thước nhỏ hơn, tìm hệ thức nêu quan hệ giữa kết quả bài toán kích thước đã cho với các kết quả của các “bài toán con” cùng kiểu có kích thước nhỏ hơn của nó dạng hàm hoặc thủ tục đệ quy.

Khi đã có hệ thức tương quan chúng ta có thể xây dựng ngay thuật giải, tuy nhiên hệ thức này thường là các biểu thức đệ quy, do đó dễ gây ra hiện tượng tràn miền nhớ khi ta tổ chức chương trình trực tiếp bằng đệ quy.

Bước 2: Tổ chức dữ liệu và chương trình

Tổ chức dữ liệu sao cho đạt các yêu cầu sau:

1. Dữ liệu được tính toán dần theo các bước.
2. Dữ liệu được lưu trữ để giảm lượng tính toán lặp lại.
3. Kích thước miền nhớ dành cho lưu trữ dữ liệu càng nhỏ càng tốt, kiểu dữ liệu được chọn phù hợp, nên chọn đơn giản dễ truy cập.

Bước 3: Làm tốt

Làm tốt thuật toán bằng cách thu gọn hệ thức và giảm kích thước miền nhớ. Thường tìm cách dùng mảng một chiều thay cho mảng hai chiều nếu giá trị một dòng (hoặc cột) của mảng hai chiều chỉ phụ thuộc một dòng (hoặc cột) kề trước.

Trong một số trường hợp có thể thay mảng hai chiều với các giá trị phần tử chỉ nhận giá trị 0, 1 bởi mảng hai chiều mới bằng cách dùng kỹ thuật quản lý bit . “Đồ án: Phương pháp quy hoạch động cho tính khoảng cách”

Dịch Vụ Viết Luận Văn 24/7 Chuyên cung cấp dịch vụ làm luận văn thạc sĩ, báo cáo tốt nghiệp, khóa luận tốt nghiệp, chuyên đề tốt nghiệp và Làm Tiểu Luận Môn luôn luôn uy tín hàng đầu. Dịch Vụ Viết Luận Văn 24/7 luôn đặt lợi ích của các bạn học viên là ưu tiên hàng đầu. Rất mong được hỗ trợ các bạn học viên khi làm bài tốt nghiệp. Hãy liên hệ ngay Dịch Vụ Viết Luận Văn qua Website:  https://hotrovietluanvan.com/ – Hoặc Gmail: hotrovietluanvan24@gmail.com